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Systémes dynamiques holomorphes

Cours - 2020-2021 (1er semestre, 2ème période) - Math - Université de Paris (Paris VII) - M2 Math.
Page du Master M2 IMJ-PRG
Page Moodle

Cet enseignement sera en ligne, sur la plateforme BBB de l'Université de Paris.

Horaires

• Lundis 08h30-10h30.
• Jeudis 08h30-10h30.

Horaires TD (par Yann Levagnini)

• Mardis 13h30-15h30.

Dates et changements d'horaires

• Cours et TD du 02/11/2020 au 12/12/2020.
• Le cours de lundi 23/11/2020 sera de 17h00 à 19h00.
• Le cours de jeudi 26/11/2020 est anticipé au mercredi 25/11/2020 de 17h00 à 19h00.

Évaluation du module

L'évaluation du module consiste en une %eacute;preuve %eacutecrite et une %eacute;preuve orale.

• Examen %eacute;crit: 05/01/2021, salle SG 2017.
• Examen oral:
L'examen oral consiste dans l'exposition d'un sujet d'oral (sur un sujet concordé avec l'enseignant) de 25-30 minutes, suivi de questions de cours.

Livres conseillés

• Milnor - Dynamics in one complex variable (3rd edition, 2006).
• Beardon - Iteration of rational functions (2000).
• Carleson, Gamelin - Complex dynamics (1993).

Sujets d'oral

Cela est un liste de projets d'oraux possibles. Vous pouvez discuter sur le projets avec le chargé de cours ou du TD, et vous pouvez proposer d'autres sujets.
1. Classification de la dynamique sur surfaces de Riemann hyperboliques.
2. Dynamique sur les tores et exemples de Lattès.
3. Germes tangents à l'identité: classification topologique (Camacho).
4. Théorème de linéarisation de Brjuno.
5. Théorème de Yoccoz (tester la linearisabilité sur les familles quadratiques).
6. Technique de renormalisation dans le théorème de Yoccoz (idées).
7. Rayons externes et connexité locale des ensembles de Julia pour polynômes.
8. Lemme de l'escargot et classification des composantes de Fatou invariantes.
9. Construction de la mesure d'équilibre pour applications rationnelles de la sphère de Riemann.
10. Propriétés ergodiques de la mesure d'équilibre.
11. Déformations quasiconformes.
12. Théorème de Sullivan (partie I).
13. Théorème de Sullivan (partie II).
14. Existence des anneaux de Herman.
15. Estimée du nombre d'anneaux de Herman.
16. Applications rationnelles hyperboliques et bifurcations (partie I).
17. Applications rationnelles hyperboliques et bifurcations (partie II).
Remarques
• Le sujet 1 utilise à fond les propriétés de la métrique de Poincaré.
• Le sujet 2 est conseillé a qui est à l'aise avec les surfaces de Riemann.
• Le sujet 3 porte demande une bonne connaissance du théorème de Leau-Fatou.
• Le sujet 4 utilise les conditions diophantiennes et les séries majorantes.
• Le sujet 5 porte sur la dynamique locale de germes irrationnels.
• Le sujet 6 porte sur les liens entre germes paraboliques, germes irrationnels et conditions diophantiennes (difficile).
• Le sujet 7 est un sujet un peu long sur la théorie de Caratheodory.
• Le sujet 8 est un sujet un peu plus simple, qui utilise dynamique et rev%ecirc;tements.
• Le sujet 9 contient des éléments de géométrie complexe en dimension 2.
• Le sujet 10 est lié au sujet 9.
• Les sujet 12 et 13 sont deux partie d'un sujet trop long pour faire seuls.
• Les sujets 12-13-14-15 utilisent la théorie de la déformation quasiconforme du sujet 11.
• Les sujets 16 et 17 portent sur l'étude des familles de fonctions (ensemble de Mandelbrot).

Quelques images

	Ensemble de Julia rempli de f(z)=z^2-0.123+0.745i (Lapin de Douady).		Ensemble de Julia de f(z)=z^2-0.194+0.6557i.
	Ensemble de Julia rempli de f(z)=z^3-0.48z+0.706260+0.502896i (Douady's family of rabbits).		Ensemble de Julia de f(z)=z3-0.75z+0.25isqrt10.
	Ensemble de Mandelbrot (en noir), associé à la famille f_c(z)=z^2+c.		Ensemble de Julia et bassins d'attraction de la méthode de Newton associée à g(z)=z^3-1.

Documents

• Examen écrit 19/12/2019 pdf

Liens utiles

• Cours de 48h donné en 2018 au BICMR de Pékin, Chine (en anglais).